جواب کاردرکلاس صفحه 95 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۹۵ حسابان یازدهم سلام! برای تکمیل جدول، از فرمول اصلی **تبدیل واحد زاویه** استفاده می‌کنیم: $\mathbf{\frac{D}{۱۸۰} = \frac{R}{\pi}}$ که در آن $D$ بر حسب درجه و $R$ بر حسب رادیان است. 📐 ### تکمیل جدول | زاویه بر حسب درجه | ۰ | ۳۰° | **۴۵°** | **۶۰°** | ۹۰° | **۱۸۰°** | ۲۷۰° | ۳۶۰° | **۴۲۰°** | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | زاویه بر حسب رادیان | ۰ | $\frac{\pi}{۶}$ | $\frac{\pi}{۴}$ | $\frac{\pi}{۳}$ | $\frac{\pi}{۲}$ | $\pi$ | $\frac{۳\pi}{۲}$ | $۲\pi$ | $\frac{۷\pi}{۳}$ | ### محاسبات گام به گام برای جاهای خالی 1. **تبدیل $\frac{\pi}{۴}$ به درجه**: $D = \frac{\pi}{۴} \times \frac{۱۸۰^{\circ}}{\pi} = \frac{۱۸۰^{\circ}}{۴} = \mathbf{۴۵^{\circ}}$ 2. **تبدیل $\frac{\pi}{۳}$ به درجه**: $D = \frac{\pi}{۳} \times \frac{۱۸۰^{\circ}}{\pi} = \frac{۱۸۰^{\circ}}{۳} = \mathbf{۶۰^{\circ}}$ 3. **تبدیل $\pi$ به درجه**: $\mathbf{۱۸۰^{\circ}}$ 4. **تبدیل ۲۷۰° به رادیان**: $R = ۲۷۰^{\circ} \times \frac{\pi}{۱۸۰^{\circ}} = \frac{۳}{۲}\pi = \mathbf{\frac{۳\pi}{۲}}$ 5. **تبدیل $\frac{۷\pi}{۳}$ به درجه**: $D = \frac{۷\pi}{۳} \times \frac{۱۸۰^{\circ}}{\pi} = ۷ \times ۶۰^{\circ} = \mathbf{۴۲۰^{\circ}}$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۹۵ حسابان یازدهم سلام! این تمرین بر **مفهوم زاویه در دایره مثلثاتی** و نحوه محاسبه **موقعیت نهایی** زاویه، به‌خصوص برای زوایای بزرگتر از $۲\pi$ (یک دور کامل) تمرکز دارد. ### ۱. ساده‌سازی و محاسبه موقعیت زوایا **قاعده**: برای زوایای بزرگتر از $۲\pi$ (یک دور)، عدد $athbf{۲\pi}$ (یک دور کامل) یا مضارب صحیح آن را کسر می‌کنیم. اگر زاویه منفی باشد، مضارب $۲\pi$ را اضافه می‌کنیم تا به بازه $[۰, ۲\pi)$ برسد. | زاویه رادیانی | ساده‌سازی / موقعیت نهایی | نمودار متناظر | | :---: | :---: | :---: | | **الف) $\frac{۲\pi}{۶}$** | $\frac{\pi}{۳} = ۶۰^{\circ}$ (در ربع اول) | $\mathbf{\theta_۶}$ | | **ب) $\frac{۲\pi}{۵}$** | $۷۲^{\circ}$ (در ربع اول، کمی بزرگتر از $\frac{\pi}{۴}$) | $\mathbf{\theta_۵}$ | | **پ) $\frac{۲\pi}{۴}$** | $\frac{\pi}{۲} = ۹۰^{\circ}$ (روی محور $y$ مثبت) | $\mathbf{\theta_۳}$ | | **ت) $\frac{۲\pi}{۳}$** | $۱۲۰^{\circ}$ (در ربع دوم) | $\mathbf{\theta_۴}$ (نمونه داده شده در شکل) | | **ث) $\frac{۲\pi}{۲}$** | $\pi = ۱۸۰^{\circ}$ (روی محور $x$ منفی) | $\mathbf{\theta_۱}$ | | **ج) $۳\pi$** | $۳\pi = ۲\pi + \pi$. موقعیت نهایی: $\pi$ (محور $x$ منفی) | $\mathbf{\theta_۲}$ | | **چ) $۴\pi$** | $۴\pi = ۲ \times (۲\pi)$. موقعیت نهایی: $۰$ (محور $x$ مثبت) | $\mathbf{\theta_۹}$ (دو دور کامل) | | **ح) $۵\pi$** | $۵\pi = ۴\pi + \pi$. موقعیت نهایی: $\pi$ (محور $x$ منفی) | $\mathbf{\theta_۷}$ (دو دور کامل + $\pi$) | | **خ) $۶\pi$** | $۶\pi = ۳ \times (۲\pi)$. موقعیت نهایی: $۰$ (محور $x$ مثبت) | $\mathbf{\theta_{۸}}$ (سه دور کامل) | | **د) $\frac{۹\pi}{۲}$** | $\frac{۹\pi}{۲} = \frac{۸\pi}{۲} + \frac{\pi}{۲} = ۴\pi + \frac{\pi}{۲}$. موقعیت نهایی: $\frac{\pi}{۲}$ (محور $y$ مثبت) | $\mathbf{\theta_{۱۰}}$ (دو دور کامل + $\frac{\pi}{۲}$) | --- ### ۲. نتیجه نظیر کردن * $\mathbf{\theta_۱}$: $\frac{۲\pi}{۲} = \pi$ * $\mathbf{\theta_۲}$: $۳\pi$ * $\mathbf{\theta_۳}$: $\frac{۲\pi}{۴} = \frac{\pi}{۲}$ * $\mathbf{\theta_۴}$: $\frac{۲\pi}{۳}$ (نمونه) * $\mathbf{\theta_۵}$: $\frac{۲\pi}{۵}$ * $\mathbf{\theta_۶}$: $\frac{۲\pi}{۶} = \frac{\pi}{۳}$ * $\mathbf{\theta_۷}$: $۵\pi$ * $\mathbf{\theta_۸}$: $۶\pi$ * $\mathbf{\theta_۹}$: $۴\pi$ * $athbf{\theta_{۱۰}}$: $\frac{۹\pi}{۲}$

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۳ صفحه ۹۵ حسابان یازدهم سلام! این جدول، مرور مقادیر **نسبت‌های مثلثاتی زوایای اصلی** است که در آن، زوایا بر حسب **رادیان** آورده شده‌اند. ### تکمیل جدول | $\mathbf{\theta}$ (رادیان) | **۰** | $\mathbf{\frac{\pi}{۶}} = ۳۰^{\circ}$ | $\mathbf{\frac{\pi}{۴}} = ۴۵^{\circ}$ | $\mathbf{\frac{\pi}{۳}} = ۶۰^{\circ}$ | $\mathbf{\frac{\pi}{۲}} = ۹۰^{\circ}$ | $\mathbf{\pi} = ۱۸۰^{\circ}$ | $\mathbf{\frac{۳\pi}{۲}} = ۲۷۰^{\circ}$ | $\mathbf{۲\pi} = ۳۶۰^{\circ}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{\sin \theta}$ | $\mathbf{۰}$ | $\mathbf{\frac{۱}{۲}}$ | $\mathbf{\frac{\sqrt{۲}}{۲}}$ | $\mathbf{\frac{\sqrt{۳}}{۲}}$ | ۱ | $\mathbf{۰}$ | $\mathbf{-۱}$ | $\mathbf{۰}$ | | $\mathbf{\cos \theta}$ | $\mathbf{۱}$ | $\mathbf{\frac{\sqrt{۳}}{۲}}$ | $\frac{\sqrt{۲}}{۲}$ | $\mathbf{\frac{۱}{۲}}$ | $\mathbf{۰}$ | $\mathbf{-۱}$ | $\mathbf{۰}$ | $\mathbf{۱}$ | | $\mathbf{\tan \theta}$ | $\mathbf{۰}$ | $\frac{\sqrt{۳}}{۳}$ | $\mathbf{۱}$ | $\mathbf{\sqrt{۳}}$ | $\mathbf{تعریف \text{نشده}$ | $\mathbf{۰}$ | $\mathbf{تعریف \text{نشده}$ | $\mathbf{۰}$ | | $\mathbf{\cot \theta}$ | $\mathbf{تعریف \text{نشده}$ | $\mathbf{\sqrt{۳}}$ | $\mathbf{۱}$ | $\mathbf{\frac{\sqrt{۳}}{۳}}$ | ۰ | $\mathbf{تعریف \text{نشده}$ | $\mathbf{۰}$ | $\mathbf{تعریف \text{نشده}$ | ### توضیح محاسبات * **$\frac{\pi}{۴} = ۴۵^{\circ}$**: $\sin ۴۵^{\circ} = \cos ۴۵^{\circ} = \frac{\sqrt{۲}}{۲}$. $\tan ۴۵^{\circ} = \cot ۴۵^{\circ} = ۱$. * **$\frac{\pi}{۳} = ۶۰^{\circ}$**: $\sin ۶۰^{\circ} = \frac{\sqrt{۳}}{۲}$ و $\cos ۶۰^{\circ} = \frac{۱}{۲}$. * **$\frac{\pi}{۲} = ۹۰^{\circ}$**: $\tan ۹۰^{\circ}$ و $\cot ۰^{\circ}$ تعریف نشده‌اند (زیرا $\cos ۹۰^{\circ} = ۰$ یا $\sin ۰^{\circ} = ۰$). * **نقاط مرزی**: مقادیر $\mathbf{\pi}$ ($۱۸۰^{\circ}$)، $\mathbf{\frac{۳\pi}{۲}}$ ($۲۷۰^{\circ}$) و $\mathbf{۲\pi}$ ($۳۶۰^{\circ}$) از روی مختصات نقاط روی دایره مثلثاتی به دست می‌آیند.